เมทริกซ์และดีเทอร์มิแนนท์

วันพฤหัสบดีที่ 23 ตุลาคม พ.ศ. 2557

การนำเมทริกซ์ไปประยุกต์ใช้ในชีวิตประจำวัน

“เมทริกซ์” เป็นเนื้อหาหนึ่งในวิชาคณิตสาสตร์เพิ่มเติม ม.4 ศึกษาเกี่ยวกับตัวแบบชนิดหนึ่งที่เรียกว่าเมทริกซ์ และมีการประยุกต์ในการแก้ระบบสมการเชิงเส้น
ในระดับอุดมศึกษาจึงมีการนำไปประยุกต์ใช้ในสาขาต่างๆ โดยในการเรียนวิชาพีชคณิตเชิงเส้น ได้มีการกล่าวถึงการประยุกต์ใช้ในหลากหลายสาขา ที่มีการนำสมการเชิงเส้นไปใช้ในการอธิบายปรากฏการณ์ และความสัมพันธ์ต่างๆ ดังนี้

การประยุกต์ทางธุรกิจ
การประยุกต์ทางเศรษฐศาสตร์
การประยุกต์ทางฟิสิกส์ (วงจรไฟฟ้า)
การวิเคราะห์การเลื่อนไหลของการจราจร

การประยุกต์ทางธุระกิจ

ตัวอย่างที่ โรงงานอุตสาหกรรมแห่งหนึ่งมีเครื่องจักร 3 เครื่อง เพื่อใช้ในการผลิตสินค้าที่แตกต่างกัน 4 ชนิด เครื่องจักรแต่ละเครื่องสามารถทำงานได้วันละ 8 ชั่วโมง และจำนวนชั่วโมงที่เครื่องจักรแต่ละเครื่องในใจการผลิตสินค้าแต่ละชนิด ต่อ 1 ชิ้น กำหนดดังนี้

	ชนิดที่ 1	ชนิดที่ 2	ชนิดที่ 3	ชนิดที่ 4
เครื่องที่ 1	1	2	1	2
เครื่องที่ 2	2	0	1	1
เครื่องที่ 3	1	2	3	0

จงหาจำนวนสินค้าแต่ละชนิดที่ผลิตได้ใน 1 วัน เมื่อกำหนดให้เครื่องจักรแต่ละตัวทำงานครบ 8 ชั่วโมง

วิธีทำ    สมมติให้ w แทน จำนวนสินค้าชนิดที่ 1 ที่ผลิตได้ใน 1 วัน

           x แทน จำนวนสินค้าชนิดที่ 2 ที่ผลิตได้ใน 1 วัน
           y แทน จำนวนสินค้าชนิดที่ 3 ที่ผลิตได้ใน 1 วัน
           z แทน จำนวนสินค้าชนิดที่ 4 ที่ผลิตได้ใน 1 วัน

           ดังนั้น   จำนวนชั่วโมงทำงานของเครื่องจักรเครื่องที่ 1 เท่ากับ 1w + 2x + 1y + 2z
           จำนวนชั่วโมงทำงานของเครื่องจักรเครื่องที่ 2 เท่ากับ 2w + 0x + 1y + 1z
           จำนวนชั่วโมงทำงานของเครื่องจักรเครื่องที่ 3 เท่ากับ 1w + 2x + 3y + 0z

จากที่กำหนดให้ว่า เครื่องจักรแต่ละเครื่องทำงานวันละ 8 ชั่วโมง ดังนั้น จะได้ระบบของสมการเชิงเส้น ดังต่อไปนี้

           w + 2x +   y + 2z   =   8
         2w + y + z   =   8
           w + 2x + 3y =   8

ซึ่งสร้างเป็นเมทริกซ์แต่งเติมของระบบสมการเชิงเส้นได้ดังนี้

เมื่อใช้การดำเนินการตามแถวเบื้องต้นจะได้เมทริกซ์แบบขั้นบันไดแบบแถว ดังนี้

จากเมทริกซ์นี้ ทำให้เราได้ระบบสมการเชิงเส้น ดังนี้
                                  w + 2x +   y +   z   =   4
                                  x +    y +   z   =   2
                                  y –   z =   0
ซึ่งจะได้คำตอบของระบบสมการดังนี้
                                  w   =   4 – s
                                  x   =   2 – s
                                  y   =   s
                                  z   =   s
เมื่อ s เป็นจำนวนใดๆ แต่เนื่องจาก w, x, y, z เป็จำนวนเต็มบวกหรือศูนย์ (จำนวนสินค้า)

          ดังนั้น        4 – s  ≥ 0     และ 2 – s  ≥ 0
          นั่นคือ        s  ≤ 4      และ       s  ≤ 2
ดังนั้น 0 £ s £ 2 จะได้ s = 0, 1, 2 แสดงว่าคำตอบของปัญหามีอยู่ 3 คำตอบ คือ

ถ้า s = 0 จะได้ หรือ

ถ้า s = 1 จะได้ หรือ

ถ้า s = 2 จะได้

แต่ถ้าระบุเงื่อนไขเพิ่มเติมอีกว่า เครื่องจักรแต่ละเครื่องต้องผลิตสินค้าได้ทุกชนิด คำตอบของปัญหานี้จะเหลือเพียงคำตอบเดียว คือ

การวิเคราะห์การเลื่อนไหลของการจราจร

              ถ้ามีแผนผังของการจราจรในรูปแบบของการเดินรถทางเดียว พร้อมทั้งมีการสำรวจจำนวนรถที่เข้าหา หรือออกจากสี่แยก เราสามารถนำข้อมูลที่ได้มาวิเคราะห์หาจำนวนรถบนเส้นทางที่ต้องการได้ และจากคำตอบดังกล่าวนี้ หากเราทราบว่านถนนสายใดมีปัญหาที่อาจจะส่งผลถึงการจราจร เช่น การก่อสร้าง ก็อาจจะวิเคราะห์ต่อไปถึงจำนวนรถที่เหมาะสมได้

ตัวอย่างสถานการณ์
               ในรูปที่กำหนดให้ต่อไปนี้ แสดงเครือข่ายการจราจรบนถนนสายต่างๆ ในเมืองแห่งหนึ่ง ซึ่งเป็นถนนที่มีการเดินรถทางเดียวทั้งหมด โดยทิศทางของการเดินรถแสดงได้ด้วยลูกศรในรูป จำนวน ปรากฏในรูปแทนจำนวนรถใน 1 ชั่วโมงที่เข้าหา หรือออกจากจุดสี่แยกต่างๆ และตัวแปร x₁, x₂, …, x₇ แทนจำนวนรถใน 1 ชั่วโมงที่ผ่านจากจุด A ไปยังจุด B จากจุด B ไปยังจุด C เป็นต้น

               ถ้าหากเราตั้งสมมติฐานว่า ไม่มีการหยุดการเลื่อนไหลของการจราจร จำนวนรถที่เข้าหาสี่แยกเท่ากับจำนวนรถที่ออกจากสี่แยกนั้น จงวิเคราะห์หา x₁, x₂, …, x₇
วิธีทำ
              จากข้อมูลที่กำหนดให้ จะได้ระบบสมการเชิงเส้น ดังต่อไปนี้
x₁ + x₃                          =   800 (การเลื่อนไหนที่สี่แยก A)
x₁ – x₂ + x₄                 =   200 (การเลื่อนไหนที่สี่แยก B)
x₂ – x₅          =   500 (การเลื่อนไหนที่สี่แยก C)
– x₅ + x₇                       =   50    (การเลื่อนไหนที่สี่แยก D)
x₄ + x₆ – x₇                   =   600 (การเลื่อนไหนที่สี่แยก E)
x₃ + x₆          =   750 (การเลื่อนไหนที่สี่แยก F)

จะได้เมทริกซ์แต่งเติมของระบบสมการข้างต้น คือ

ซึ่งสมมูลตามแถวกับเมทริกซ์ขั้นบันไดตามแถวลดรูป ดังนี้

ดังนั้น

x₁   =   50 + x₆
x₂   =   450 + x₇
x₃ =   750 – x₆
x₄   =   600 – x₆ + x₇
x₅   =   -50 + x₇
x₆ =   x₆
x₇   =   x₇

          เนื่องจาก xi ³ 0 (เพราะว่า สถานการณ์นี้เป็นการเดินรถทางเดียว ถ้าหากมี xi < 0 จะทำให้เกิดการเดินรถที่ผิดทางกัน)

ดังนั้น            x₃   =   750 – x₆ > 0
ดังนั้น            0 <  x₆ < 750
ทำนองเดียวกัน     x₅   =   -50 + x₇ > 0
                         x₇ > 50

         ถ้าสมมติว่า ถนนที่เชื่อมระหว่างสี่แยก D และ E อยู่ใรระหว่างการก่อสร้าง จึงต้องการให้รถผ่านเส้นทางนี้น้อยที่สุด จะได้ว่า x₇ = 50 ซึ่งทำให้ x₂ = 500 และ x₅ = 0
         แสดงว่า ต้องปิดการถนนที่เชื่อมระหว่างสี่แยก C และ D
         ในทางกลับกัน ถ้าปิดถนนสายที่เชื่อมระหว่าง C และ D จะได้ x₅ = 0 ซึ่งทำให้ x₇ = 50 ซึ่งเป็นจำนวนที่น้อยที่สุด
          ดังนั้น จึงสรุปได้ว่า จำนวนรถบนถนนที่เชื่อมระหว่าง D และ E น้อยที่สุด ก็ต่อเมื่อต้องปิดถนนสายที่เชื่อมระหว่าง C และ D
         ในขณะเดียวกัน ถ้าต้องการให้ x₆ มีค่าน้อยที่สุดด้วย จาก (1) จะได้ว่า x₆ = 0
         ดังนั้น x₁ = 50, x₂ = 500, x₃ = 750, x₄ = 650, x₅ = 0, x₇ = 50

ขอบคุณแหล่งที่มา จาก http://coolaun.com/m4/admath2/matrix/appmatrix/

( กมล เอกไทยเจริญ. (ม.ป.ป.). พีชคณิตเชิงเส้น และเทคนิคการใช้ Graphing Calculator. กรุงเทพฯ: ไฮเอ็ดพับลิชชิ่ง.)

การแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้เมทริกซ์

ในระดับชั้นมัธยมศึกษาตอนต้น เราได้เคยศึกษาเกี่ยวกับการแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปรและสาม ตัวแปรแล้ว สาหรับในเรื่องนี้ เราจะนาความรู้เรื่องเมทริกซ์มาประยุกต์ใช้ในการแก้ระบบสมการเชิงเส้นตั้งแต่สอง ตัวแปรขึ้นไป

ระบบสมการเชิงเส้น

สำหรับระบบสมการเชิงเส้นที่มี n ตัวแปร m สมการ ซึ่งมี x1, x2, x3, ... , xnจะมีรูปแบบเป็น

ซึ่งผลลัพธ์ที่จะเกิดขึ้นจากระบบสมการจะแบ่งได้ 3 แบบ คือ

ตัวอย่าง จงแก้ระบบสมการต่อไปนี้

(1) 2x - y = 3

x + 3y = -2

(2) x - 2y - z = -2

-x + y + 2z = -1

2x + 3y - 2z = 10

การแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยการใช้เมทริกซ์ผกผัน

พิจารณาระบบสมการเชิงเส้น 3 ตัวแปร 3 สมการ

ax + by + cz = m

dx + ey + fz = n

gx + hy + iz = p

ซึ่งเราสามารถเขียนเป็นสมการเมทริกซ์ได้เป็น

ซึ่งอยู่ในรูป A x X = B โดยเราเรียกเมทริกซ์ A ว่า เมทริกซ์สัมประสิทธิ ( Coefficient Matrix) เรียก

เมทริกซ์ B ว่า เมทริกซ์ค่าคงตัว และเรียกเมทริกซ์ X ว่า เมทริกซ์ตัวแปร ซึ่งสามารถหาคำตอบของสมการเมท

ริกซ์นี้ได้จาก X = A-1 × B (เมื่อ A-1 หาค่าได้)

ข้อควรรู้ ข้อสรุปเกี่ยวกับผลลัพธ์ที่ได้จากการแก้ระบบสมการกับเมทริกซ์

- กรณีที่เมทริกซ์สัมประสิทธิ์เป็นเมทริกซ์ไม่เอกฐาน จะได้ว่า

- กรณีที่เมทริกซ์สัมประสิทธิ์เป็นเมทริกซ์เอกฐาน จะได้ว่า

ตัวอย่าง จงแก้ระบบสมการนี้โดยใช้เมทริกซ์ผกผัน

x - y + 2z = 9

2x + y - z = 0

3x - 2y + z = 11

การแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้กฏของคาร์เมอร์

กำหนดระบบสมการเชิงเส้น n ตัวแปร n สมการ โดย A × X = B (A เป็นเมทริกซ์สัมประสิทธิ X เป็น เมทริกซ์ตัวแปร และ B เป็นเมทริกซ์ค่าคงตัว) เป็นสมการเมทริกซ์ซึ่งสัมพันธ์กับระบบสมการดังกล่าว ถ้า det(A) ไม่เท่ากับ 0 และให้

แล้วคำตอบของระบบสมการนี้คือ

Ent’27 (ดัดแปลง) จงหาค่า y และ t ที่ทาให้ระบบสมการนี้เป็นจริง โดยใช้กฎของคาร์เมอร์

2x + y - 2z = -1 x + 3z - t = 2

-2x + y + 2z + 2t = 0

x - y + 3z + t = 1

การแก้ระบบสมการโดยใช้ Row-Operation

พิจารณาการแก้ระบบสมการเชิงเส้น 2 ตัวแปร 2 สมการ เทียบกับการดาเนินการกับเมทริกซ์ที่สร้างขึ้น ใหม่ (เรียกเมทริกซ์นี้ว่า เมทริกซ์แต่งเติม : augmented matrix) ต่อไปนี้

ตัวอย่าง จงแก้ระบบสมการนี้โดยใช้ row-operation x - 2y + 3z = 9

-x + 3y = -4

2x - 5y + 5z = 17

NOTE Gauss Elimination

Gauss Elimination เป็นวิธีการหนึ่งซึ่งใช้ในการแก้ระบบสมการซึ่งใช้วิธีการเดียวกันกับการแก้ ระบบสมการโดยใช้ row-operation เพียงแต่ในวิธ Gauss Elimination เราจะทาการดาเนินตามแถวไป จนเมทริกซ์แต่งเติมเป็นเมทริกซ์ที่อยู่ในลักษณะเดียวกับ row-echelon form matrix (เป็นเมทริกซ์ สามเหลี่ยมล่าง)