เมทริกซ์และดีเทอร์มิแนนท์: การแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้เมทริกซ์

การแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้เมทริกซ์

ในระดับชั้นมัธยมศึกษาตอนต้น เราได้เคยศึกษาเกี่ยวกับการแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปรและสาม ตัวแปรแล้ว สาหรับในเรื่องนี้ เราจะนาความรู้เรื่องเมทริกซ์มาประยุกต์ใช้ในการแก้ระบบสมการเชิงเส้นตั้งแต่สอง ตัวแปรขึ้นไป

ระบบสมการเชิงเส้น

สำหรับระบบสมการเชิงเส้นที่มี n ตัวแปร m สมการ ซึ่งมี x1, x2, x3, ... , xnจะมีรูปแบบเป็น

ซึ่งผลลัพธ์ที่จะเกิดขึ้นจากระบบสมการจะแบ่งได้ 3 แบบ คือ

ตัวอย่าง จงแก้ระบบสมการต่อไปนี้

(1) 2x - y = 3

x + 3y = -2

(2) x - 2y - z = -2

-x + y + 2z = -1

2x + 3y - 2z = 10

การแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยการใช้เมทริกซ์ผกผัน

พิจารณาระบบสมการเชิงเส้น 3 ตัวแปร 3 สมการ

ax + by + cz = m

dx + ey + fz = n

gx + hy + iz = p

ซึ่งเราสามารถเขียนเป็นสมการเมทริกซ์ได้เป็น

ซึ่งอยู่ในรูป A x X = B โดยเราเรียกเมทริกซ์ A ว่า เมทริกซ์สัมประสิทธิ ( Coefficient Matrix) เรียก

เมทริกซ์ B ว่า เมทริกซ์ค่าคงตัว และเรียกเมทริกซ์ X ว่า เมทริกซ์ตัวแปร ซึ่งสามารถหาคำตอบของสมการเมท

ริกซ์นี้ได้จาก X = A-1 × B (เมื่อ A-1 หาค่าได้)

ข้อควรรู้ ข้อสรุปเกี่ยวกับผลลัพธ์ที่ได้จากการแก้ระบบสมการกับเมทริกซ์

- กรณีที่เมทริกซ์สัมประสิทธิ์เป็นเมทริกซ์ไม่เอกฐาน จะได้ว่า

- กรณีที่เมทริกซ์สัมประสิทธิ์เป็นเมทริกซ์เอกฐาน จะได้ว่า

ตัวอย่าง จงแก้ระบบสมการนี้โดยใช้เมทริกซ์ผกผัน

x - y + 2z = 9

2x + y - z = 0

3x - 2y + z = 11

การแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้กฏของคาร์เมอร์

กำหนดระบบสมการเชิงเส้น n ตัวแปร n สมการ โดย A × X = B (A เป็นเมทริกซ์สัมประสิทธิ X เป็น เมทริกซ์ตัวแปร และ B เป็นเมทริกซ์ค่าคงตัว) เป็นสมการเมทริกซ์ซึ่งสัมพันธ์กับระบบสมการดังกล่าว ถ้า det(A) ไม่เท่ากับ 0 และให้

แล้วคำตอบของระบบสมการนี้คือ

Ent’27 (ดัดแปลง) จงหาค่า y และ t ที่ทาให้ระบบสมการนี้เป็นจริง โดยใช้กฎของคาร์เมอร์

2x + y - 2z = -1 x + 3z - t = 2

-2x + y + 2z + 2t = 0

x - y + 3z + t = 1

การแก้ระบบสมการโดยใช้ Row-Operation

พิจารณาการแก้ระบบสมการเชิงเส้น 2 ตัวแปร 2 สมการ เทียบกับการดาเนินการกับเมทริกซ์ที่สร้างขึ้น ใหม่ (เรียกเมทริกซ์นี้ว่า เมทริกซ์แต่งเติม : augmented matrix) ต่อไปนี้

ตัวอย่าง จงแก้ระบบสมการนี้โดยใช้ row-operation x - 2y + 3z = 9

-x + 3y = -4

2x - 5y + 5z = 17

NOTE Gauss Elimination

Gauss Elimination เป็นวิธีการหนึ่งซึ่งใช้ในการแก้ระบบสมการซึ่งใช้วิธีการเดียวกันกับการแก้ ระบบสมการโดยใช้ row-operation เพียงแต่ในวิธ Gauss Elimination เราจะทาการดาเนินตามแถวไป จนเมทริกซ์แต่งเติมเป็นเมทริกซ์ที่อยู่ในลักษณะเดียวกับ row-echelon form matrix (เป็นเมทริกซ์ สามเหลี่ยมล่าง)