การดำเนินการบนเมทริกซ์
เมทริกซ์มีความคล้ายคลึงกับระบบจานวนจริงมาก ในหัวข้อนี้เราจะศึกษาว่า เราสามารถบวก-ลบ-คูณ เมทริกซ์ได้อย่างไร และศึกษาการดาเนินการบนเมทริกซ์บางชนิดซึ่งไม่พบในระบบจานวนจริง
1. การเท่ากันของเมทริกซ์
กำหนด A = [aij ]m´nและ B = [bij ]p´q
เป็นเมทริกซ์
เมทริกซ์ A และ B จะเท่ากันกันได้ ก็ต่อเมื่อ
- A และ B ต้องมีมิติเท่ากัน (m
= p และ n = q)
- สมาชิกที่อยู่ในตำแหน่งเดียวกันต้องมีค่าเท่ากัน (aij =
bij)
2. การบวก ลบ เมทริกซ์
เกิดจากการบวกหรือลบกันของ A กับ B แล้ว cij = aij ± bij
(3) จงหาเมทริกซ์ X ซึ่งทำให้ A + X = C
กำหนด A =[aij ]m´n
และ B =[bij ]m´n
เป็นเมทริกซ และให้เมทริกซ์ C =[cij ]m´n
เป็นเมทริกซ์ที่
(การบวก-ลบ เมทริกซ์ทำได้โดยนาสมาชิกที่ตำแหน่งเดียวกันมาบวก-ลบ กัน ซึ่งเราจะบวก -ลบ เมทริกซ์
ได้เมื่อ เมทริกซ์ที่นามาบวก-ลบกัน มีมิติเท่ากัน)
ตัวอย่าง กำหนด A =
(1) A + B
(2) C -
B
3. สมบัติเกี่ยวกับการบวกของเมทริกซ์
กำหนด A , B และ C เป็นเมทริกซ์มิติ m´ n
1. สมบัติปิดของการบวก A
, B เป็นเมทริกซ์มิติ m´ n แล้ว A + B เป็นเมทริกซ์มิติ m´ n
2. สมบัติการสลับที่ของการบวก A + B = B +
A
3. สมบัติการเปลี่ยนกลุ่มของการบวก (A +
B) +C = A + (B +
C)
4. สมบัติการมีเอกลักษณ์ของการบวก จะมีเมทริกซ์ 0 ซึ่งทาให้
A + 0 = 0 +
A = A เรียก 0 ว่า เอกลักษณ์ของการบวกของเมทริกซ์
5. สมบัติการมีอินเวอร์สของการบวก สาหรับเมทริกซ์ A จะมีเมทริกซ์ -A ซึ่งทาให้
A + (-A) = (-A) + A = 0 เรียก -A ว่า อินเวอร์สของการบวกของ A
4. การคูณเมทริกซ์ด้วยจำนวนจริง
กำหนด A = [aij ]m´nเป็นเมทริกซ์ และ k เป็นจานวนจริงใดๆแล้ว
kA = [kaij ]m´n
(การคูณเมทริกซ์ด้วยจานวนจริงทาได้โดย นาสมาชิกทุกตำแหน่งในเมทริกซ์คูณด้วยจานวนจริงนั้น)
5. การคูณเมทริกซ์ด้วยเมทริกซ์
กำหนด A = [aij ]m´nและ B = [bij ]p´qเป็นเมทริกซ์
- เมทริกซ์ A และ B จะคูณกันได้เมื่อ n =
p (จานวนหลักของ A เท่ากับจานวนแถวของ B)
- เมทริกซ์ผลคูณ A × B จะเป็นเมทริกซ์มิติ m´ q
- สมาชิกแถวที่ i
หลักที่ j
ของเมทริกซ์ผลคูณ A × B จะหาได้โดยการ นาสมาชิกในแถวที่ i ของ
A มาคูณกับสมาชิกในหลักที่ j ของ B เป็นคู่ๆ แล้วนามาบวกกัน
ตัวอย่าง จงหาผลคูณของเมทริกซ์ต่อไปนี้
ตัวอย่าง จงหา A3 เมื่อกำหนดเมทริกซ์ A ต่อไปนี้
ENT’24 กำหนดให้
ENT’33 กำหนดให้
ถ้า A × B = C แล้ว a มีค่าเท่าใด
6. สมบัติเกี่ยวกับการคูณของเมทริกซ์
กำหนด A , B และ C เป็นเมทริกซ์
1. สมบัติปิดของการคูณ A , B เป็นเมทริกซ์ แล้ว A × B ยังคงเป็นเมทริกซ์
2. สมบัติการเปลี่ยนกลุ่มของการคูณ (A × B) × C = A × (B × C)
3. สมบัติการมีเอกลักษณ์ของการคูณ จะมีเมทริกซ์ I ซึ่งทาให้
A × I
= I
× A = A เรียก 0 ว่า เอกลักษณ์ของการบวกของเมทริกซ์
4. สมบัติการมีอินเวอร์สของการคูณ สาหรับเมทริกซ์ A จะมีเมทริกซ์ A-1 ซึ่งทาให้
A × A-1 =
A-1 × A = I เรียก A-1 ว่า อินเวอร์สของการบวกของ A (มีเฉพาะบางเมทริกซ์)
5. สมบัติการแจกแจง A × (B + C) = A × B + A × C
ข้อควรระวัง ! เมทริกซ์ไม่มีสมบัติการสลับที่และสมบัติการมีอินเวอร์สสำหรับการคูณ ดังนั้น สมบัติที่ เป็นจริงบางประการในระบบจานวนจริง จะไม่เป็นจริงในเมทริกซ์ เช่น
7. ทรานสโพสของเมทริกซ์
กำหนด A = [aij ]m´n
เป็นเมทริกซ์ แล้ว ทรานสโพส (เมทริกซ์สลับเปลี่ยน) ของเมทริกซ์ A คือ
|
ji n´m
(ทรานสโพสของเมทริกซ์ก็คือ การสร้างเมทริกซ์ใหม่โดยการเปลี่ยนจากแถวเป็นหลักนั่นเอง)
สมบัติของทรานสโพสของเมทริกซ์
กำหนด A = [aij ]m´nและ B = [bij ]m´n เป็นเมทริกซ์ และ k เป็นจานวนจริงใดๆ
1. ( A t ) t =
A
2. (A ± B)t = At ± Bt
3. (kA)t = kAt
4. (AB)t =
BtAt
5. (Am)t = (At)m
6. (A-1)t = (At)-1
NOTE เมทริกซ์สมมาตร (Symmetric matrix) คือ______________________
เมทริกซ์เสมือนสมมาตร (Skew-symmetric
matrix) คือ ___________
ตัวอย่าง กำหนด
(1) At
(2) (3B)t
(3) (A -
B)t
PAT1 ก.ค.53 ให้ a, b, c, d เป็นจานวนจริง ถ้า
ค่าของ b +
c เท่ากับเท่าใด
PAT1 มี.ค.53 ให้ x, y, z, w
สอดคล้องกับสมการ
ค่าของ 4w –
3z + 2y – x เท่ากับเท่าใด
ทุนเล่าเรียนหลวง’37
ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง
1. A × B = B × A 2. A × B = -A × B
ไม่มีความคิดเห็น:
แสดงความคิดเห็น